“dirty”と“messy”はどちらも日本語で「汚い」という意味で使われますが、同じ「汚い」という意味でもニュアンスが異なるので例文を交えながらご紹介します。

dirty：ゴミなど不潔なもので汚れている状態
messy：散らかった状態

部屋を題材にこの2つを比較し、想像してみるのが一番分かりやすいと思います。

部屋で比較

Your room is dirty!
「君の部屋は汚れていて不潔だ。」
Your room is messy!
「君の部屋は散らかっていて整理整頓ができていない。」

dirty「汚れた」

「汚い」と言ってもいろいろな種類がありますが“dirty”の「汚い」は、「不潔な物質で汚れている」という意味が一番近い表現です。

ゴミ、食べ残したもの、泥、ホコリ、チリなど不潔な物はたくさんありますが、物や人に汚れや埃などがついて汚くなっているような不潔な状態の時に“dirty”を使うことができます。

例えば、食べ終わったお皿を汚れている状態で放置している時や外から帰ってきて手も洗わず汚い状態でいる時に“dirty”を使って文を作ります。

These dishes are dirty because I went to bed without washing them last night.
「昨夜お皿を洗わずに寝たので、これらのお皿は汚いです。」
You should wash your hands when you come back because your hands are dirty.
「手が汚いので、家に帰ってきたら手を洗うべきです。」

“dirty”は埃や汚れがついて汚いという意味以外にも「下品な」や「（やり方が）汚い」と言った意味も持っています。

どれも形容詞として使う事が多いので、何に対して“dirty”と言っているのかを前後の文から推測して意味を理解する必要があります。

I don’t like this comedian because he always says dirty jokes.
「このコメディアンはいつも下品な冗談を言うので私は彼が好きではありません。」
Lying to someone is a dirty trick.
「誰かに嘘をつくことは汚いやり方です。」

messy「散らかった」

“messy”も“dirty”と同様に「汚い」と言う意味がありますが、“dirty”のように汚れや埃がついて汚いという意味ではなく場所が散らかっていたり、物が乱雑に置かれているような状態を表す時に使います。

例えば、読んだ本や雑誌を片付けずに床の上に投げっぱなしにして散らかっている部屋を表す場合やお店に整理整頓がされていない棚がある場合には“messy”を使って文章を作ります。

You should clean up these books and magazines! Your room is messy!
「あなたはこれらの本や雑誌を片付けるべきです！あなたの部屋は汚いです！」
There is a messy shelf in the store.
「その店には汚い棚があります。」

また、物ではなく人に対して“messy”を使う時には「だらしない」と言う意味になる場合もあります。

例えば、アイロンがされていないヨレヨレのシャツを着て来た時や髪の毛がボサボサのままで出かける時に“messy”を使います。

He was messy because he wore the shabby clothes yesterday.
「彼は昨日ヨレヨレの服を着ていたため、だらしなかった。」
My hair is very messy today.
「今日の私の髪の毛はとてもボサボサで汚いです。」

今回は“dirty”と“messy”についてご紹介してきましたが、大きなニュアンスの違いとしては“dirty”は汚れや埃などがついて不潔で汚い状態、“messy”は散らかっていて汚い状態となります。

物や人に対して変わってくる細かい意味の違いについてはご紹介させていただいたものを参考にしてみてください。